algo1212
Term. S

Séquence 12 : Algorithme et programmation

Spéc. ISN
Noms :  
Matériel : - un pc;
Logiciel : - Utiliser le navigateur Google Chrome.
Document :  Cours sur les algorithmes (version odt ou pdf ).

I. Objectifs

  • Ecrire des algorithmes et des programmes.

II.Etude d'algorithmes simples

 

2.1. Rechercher un élément dans un tableau trié par une méthode dichotomique

 

Si le tableau est trié par ordre croissant, on peut s'arrêter dès que la valeur rencontrée est plus grande que la valeur cherchée (ou plus petite si le tableau est trié par ordre décroissant).

 

Algorithme : 
// cette fonction renvoie vrai si x est présente dans tab, faux sinon
// le tableau tab est supposé trié par ordre croissant
fonction avec retour booléen rechercheElement( tab , x)
   entier i;
   début
      i <- 0;
      tantque (i < tab.longueur) faire
         si (tab[i] = x) alors
            retourne VRAI;
         sinon
            si (tab[i] > x) alors
               retourne FAUX;
            sinon
               i <- i + 1;
            finsi
         finsi
   fintantque
   retourne FAUX;
fin

→ Programmer cette fonction en Javascript

>

isn-e1

 

>

 

2.2. Le tri d'un tableau par sélection

Le principe est que pour classer n valeurs, il faut rechercher la plus grande valeur et la placer en fin de liste, puis la plus grande valeur dans les valeurs restante et la placer en avant dernière position et ainsi de suite...

Considérons un tableau à n éléments. Pour effectuer le tri par sélection, il faut rechercher dans ce tableau la position du plus grand élément. Le plus grand élément est alors échangé avec le dernier élément du tableau. Ensuite, on réitère l’algorithme sur le tableau constitué par les (n-p) premiers éléments où p est le nombre de fois où l’algorithme a été itéré. L’algorithme se termine quand p=(n-1), c’est à dire quand il n’y a plus qu’une valeur à sélectionner ; celle ci est alors la plus petite valeur du tableau.

 

Algorithme : 
procedure tri_selection(tableau T)
    debut
        entier longueur, maxi, i
        longueur<-taille(T)

        tantque(longueur>0) faire
            //recherche de la position du plus grand élément dans le tableau non encore trié
            maxi<-0;

            pour i=1 à (longueur-1) faire
                si T(i)>T(maxi) alors 
                    maxi<-i
                fin si
            fin pour

            //echange du plus grand élément avec le dernier
            echanger(T,maxi,longueur-1)

            //traitement du reste du tableau
            longueur<-longueur-1
        fin tantque
fin

→ Programmer cette fonction en Javascript.


isn-e2

 

>

 

Remarque : Le tri sélection peut être amélioré en positionnant à chaque parcours du tableau le plus grand et le plus petit élément.

 

2.3.Ajouter deux entiers exprimés en binaire

 

Exemple : 1010 
+1011

→ Ecrire l'algorithme pour résoudre cette opération :

→ Programmer cette fonction en Javascript.


isn-e4

 

>

 

 

III.Etude d'algorithmes plus avancés

3.1. Tri d'un tableau par fusion

Principe

Le tri fusion est construit suivant la stratégie "diviser pour régner", en anglais "divide and conquer". Le principe de base de la stratégie "diviser pour régner" est que pour résoudre un gros problème, il est souvent plus facile de le diviser en petits problèmes élémentaires. Une fois chaque petit problème résolu, il n’y a plus qu’à combiner les différentes solutions pour résoudre le problème global. La méthode "diviser pour régner" est tout à fait applicable au problème de tri : plutôt que de trier le tableau complet, il est préférable de trier deux sous tableaux de taille égale, puis de fusionner les résultats.

L’algorithme proposé ici est récursif. En effet, les deux sous tableaux seront eux même triés à l’aide de l’algorithme de tri fusion. Un tableau ne comportant qu’un seul élément sera considéré comme trié : c’est la condition sine qua non sans laquelle l’algorithme n’aurais pas de conditions d’arrêt. Etapes de l’algorithme :

- Division de l’ensemble de valeurs en deux parties 
- Tri de chacun des deux ensembles 
- Fusion des deux ensembles

 

Exemple

Grandes étapes de l’évolution du tableau au fil de l’algorithme :

 

 

Tableau

Commentaire : ce qui est fait pour passer à la ligne suivante

6

3

0

9

1

7

8

2

5

4

Division du tableau en deux parties

6

3

0

9

1

7

8

2

5

4

Division de chaque sous tableau en deux parties

6

3

0

9

1

7

8

2

5

4

Division de chaque sous tableau en deux parties

6

3

0

9

1

7

8

2

5

4

Division des sous tableau bleu et rouge en deux parties, fusion des tableaux vert-rose

6

3

0

1

9

7

8

2

4

5

Fusion des sous tableaux bleu-rose et rouge-rose

3

6

0

1

9

7

8

2

4

5

Fusion des sous tableaux bleu-jaune et rouge-jaune

0

3

6

1

9

2

7

8

4

5

Fusion des sous tableaux bleu-vert et rouge-vert

0

1

3

6

9

2

4

5

7

8

Fusion des deux tableaux

0

1

2

3

4

5

6

7 8 9

Le tableau est trié, l'algorithme est terminé

 

 

Algorithme :

fusion(tableau T,entier premier1,entier dernier1,entier dernier2)
    debut
        tableau Tbis
        entier premier2, compteur1, compteur2, i
        
        premier2<-dernier1+1
        compteur1<-premier1
        compteur2<-premier2
        
        taille(T)<-(dernier1-premier1+1) //taille du premier sous tableau
        
        //on recopie dans T les éléments du premier sous tableau
        pour i=premier1 à dernier1 faire
            Tbis(i-premier1)<-T(i)
        fin pour

        //on fusionne ensuite les deux sous tableaux
        pour i=premier1 à dernier2 faire
            si compteur1=premier2 alors //tous les éléments du premier sous tableau ont été utilisés        
                arret pour //tous les éléments sont donc classés
            sinon si compteur2=(dernier2+1) alors //tous les éléments du second sous tableau ont été utilisés
                T(i)=Tbis(compteur1-premier1) //on recopie à la fin du tableau les éléments du premier sous tableau
                compteur1<-compteur1+1
            sinon si Tbis(compteur1-premier1)<T(compteur2) alors //l'élément du premier sous tableau est le plus petit
                T(i)<-Tbis(compteur1-premier1) //on ajoute un élémnt du premier sous tableau
                compteur1<-compteur1+1 //on progresse dans le premier sous tableau
            sinon //c'est l'élément du second sous tableau qui est le plus petit
                T(i)<-T(compteur2) //on recopie cette élément à la suite du tableau
                compteur2<-compteur2+1 //on progresse dans le second tableau
            fin si
        fin pour    
    fin

tri_fusion_bis(tableau T,entier premier,entier dernier)
    debut
        entier milieu;

        si premier<>dernier alors
            //si l'indice du premier et du dernier élément à traiter 
            //est différent (condition d'arret de l'algorithme)
            milieu<-(premier+dernier)/2
            tri_fusion_bis(T,premier,milieu) //tri de la premiére moitiée du sous tableau
            tri_fusion_bis(T,milieu+1,dernier) //tri de la seconde moitiée du sous tableau
            fusion(T,premier,milieu,dernier) //fusion des deux sous moitiées
        fin si
    fin

tri_fusion(tableau T)
    debut
        entier longueur
        longueur<-taille(T)

        si longueur>0 alors
            tri_fusion_bis(T,0,longueur-1)
        fin si
    fin

→ Programmer cette fonction en Javascript.


isn-e6

 

>

3.2.Notions élémentaires sur les graphes

 

Exemple 1 : Choix d'un itinéraire

Sachant qu'une manifestation d'etudiants bloque la gare de Poitiers, et connaissant la duree

des trajets suivants :

Bordeaux ! Nantes 4 h

Bordeaux ! Marseille 9 h

Bordeaux ! Lyon 12 h

Nantes ! Paris-Montparnasse 2 h

Nantes ! Lyon 7 h

Paris-Montparnasse ! Paris-Lyon 1 h (en autobus)

Paris-Lyon ! Grenoble 4 h 30

Marseille ! Lyon 2 h 30

Marseille ! Grenoble 4 h 30

Lyon ! Grenoble 1 h 15

comment faire pour aller le plus rapidement possible de Bordeaux a Grenoble ?

Les données du problème sont faciles a représenter par un graphe dont les arêtes sont etiquetees par les durees des trajets :

 

Il s'agit de déterminer, dans ce graphe, le plus court chemin (ou l'un des plus courts chemins, s'il existe plusieurs solutions) entre Bordeaux et Grenoble.

 

 

Exemple 2 : Organisation d'une session d'examens

Des étudiants A, B, C, D, E et F doivent passer des examens dans différentes disciplines, chaque examen occupant une demi-journée :

Chimie : etudiants A et B

Electronique : etudiants C et D

Informatique : etudiants C, E, F et G

Mathematiques : etudiants A, E, F et H

Physique : etudiants B, F, G et H

On cherche a organiser la session d'examens la plus courte possible.

 

On peut representer chacune des disciplines par un sommet, et relier par des arêtes les sommets correspondant aux examens incompatibles (ayant des étudiants en commun) :

 

Il s'agit alors de colorier chacun des sommets du graphe en utilisant le moins de couleurs possible, des sommets voisins (relies par une arête) etant nécessairement de couleurs différentes.

parcourir un graphe en profondeur :
   visiter tous les sommets
   visiter un sommet s :
   SI s n'a pas encore #et#e visit#e ALORS
      f pr#e-traitement de sg
      visiter tous les successeurs de s
      f post-traitement de sg
   FIN SI

2.3. Recherche d'un chemin dans un graphe par un parcours en profondeur (DFS)

 

Algorithme :

parcourir une arborescence en profondeur :

visiter la racine

visiter un n#ud n :

 

Source : http://phamdavid.free.fr/cours/maths_graphes_algorithmes.pdf (81 pages)

 

IV.Machine learning

Le lien ci-dessous donne 10 algorithmes pour s'initier à l'intelligence artificielle.

https://www.kdnuggets.com/2016/08/10-algorithms-machine-learning-engineers.html

V.Conclusion


Logo Lycée Paul Sérusier

J'enseigne au
Lycée Paul SERUSIER
Avenue de Waldkappel
29270 CARHAIX PLOUGUER
Tél : 02 98 99 29 29
Site : www.lycee-serusier.fr

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Richard GAUTHIER
Professeur de Physique Appliquée
Certification ISN
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